潜在因果模型

变量定义： $$Y_i$$：个体$$i$$的观察结果 $$Y_i^t$$：干预变量为$$t$$时的个体$$i$$的潜在结果

一、潜在结果模型中的定义

二、因果推断的目的

三、三个假设

1. 个体处理效应稳定假设（SUTVA），此假设包含两部分
1. 第一部分，无干预假设，不同个体间的潜在结果是相互独立的，即对任意个体$$u_1$$的干预不会影响到其他个体。如我的头疼症只应该与我自己吃不吃阿斯匹林有关，别人吃不吃阿斯匹林不应该对我的头疼症产生任何影响。SUTVA使我们可以把样本中每个个体的反应看作独立事件，从而降低了我们需要的样本体积、模型体积和建模时间。
2. 第二个部分，一致性假设，一个个体被观测到在干预变量$$T=t$$下的结果$$Y_i$$（事实结果），也就是他的干预变量$$T=t$$时的潜在结果$$Y_i^t$$，即$$P(Y_i|T=t)=P(Y_i^t|T=t)$$。如一个人服用阿斯匹林并因此康复的人，假如他在临床试验中以随机分配的方式分配到实验组并服用了阿斯匹林，那么他一样会康复。

2. 可忽略性假设
1. 在控制混杂因子$$X$$的条件下，潜在结果与是否进行干预是相互独立的。一般表示为：$$\{Y^1,Y^0\}\perp \!\!\! \perp{{T}|X}$$。可以分成两部分进行描述：
1. 给定变量$$X$$，无论$$T$$的取值，潜在结果$$Y$$的取值都相同。即$$P(Y_i^1,Y_i^0|X=x,T=t_i)= P(Y_j^1,Y_j^0|X=x,T=t_j)$$。即如果两名患者具有相同的背景变量，则无论采取怎样的干预措施，其潜在结果都会是相同的，又或者无论我有没有吃阿斯匹林，阿斯匹林对我头疼症的因果效应都应该是一样的。
2. 给定变量$$X$$，若个体$$i$$和$$j$$的潜在结果相同，那么干预$$T$$的分布相同，即可视为随机分配。即$$P(T|X=x,Y_i^1,Y_i^0)=P(T|X=x,Y_j^1,Y_j^0)$$。
2. 通俗的解释就是，对于混杂因子$$X$$相同的「子群」，是否进行干预是随机的，近似于随机对照试验，从而在混杂因子$$X$$相同的「子群」上，“观察结果” 等价于 “潜在结果”，那么条件平均因果效应：
$$\begin{aligned}CATE(x)&=E[Y_i^1-Y_i^0|X=x] \\&=E[Y_i^1|X=x]-E[Y_i^0|X=x] \\&=E[Y_i^1|X=x,T=1]-E[Y_i^0|X=x,T=0] \\&=E[Y_i|X=x,T=1]-E[Y_i|X=x,T=0]\end{aligned}$$
💡
第二个等式转换是基于期望的性质，差值的期望等于期望的差值。第三个等式是基于可忽略性假设，即在控制$$X$$的值时，潜在结果与干预相互独立。第四个等式是基于一致性假设，即被观测到的事实结果就是相同干预下的潜在结果。
💡
从因果图的角度来描述是否满足可忽略性，就是控制变量$$X$$时，是否阻断了$$T$$和$$Y$$之间的后门路径，且$$X$$的成员都不是$$T$$的后代。如果是则可以说明$$Y$$对$$T$$来说是可忽略的。对于可忽略性假设来说也就是$$X$$包含了所有的混杂因子，不存在未观测的混杂因子。
对比以下两种因果图是否满足可忽略性：
3. 从图中可知，对于$$T$$和$$Y$$之间的因果关系，$$X$$是混淆因子，且存在$$T$$到$$Y$$的后门路径$$T\leftarrow{X}\rightarrow{Y}$$，当控制了变量$$X$$后就阻断了$$T$$到$$Y$$的后门路径，且$$X$$不是$$T$$的后代，因此满足可忽略性。因此通过控制变量$$X$$就可以估计出$$T$$和$$Y$$之间因果效应。（后门准则）

graph LR;
  T-->Y
	X-->T
  X-->Y

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4. 从图中可知，对于$$T$$和$$Y$$之间的因果关系，不存在$$T$$到$$Y$$的后门路径，那么就算控制了变量$$X$$，因为$$X$$是$$T$$的后代，故不满足可忽略性。因此想要通过控制变量$$X$$，无法估计出$$T$$和$$Y$$之间因果效应。（需采用前门准则）

graph LR;
  T-->Y
	T-->X
  X-->Y

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3. 正值假设
1. 对于任意值$$X$$的干预分配都不是确定的。即$$P(T=t|X=x)>0，\forall{t、x}$$。换句话说就是确保对于任意$$X=x$$「子群」，$$T=0$$和$$T=1$$的结果均存在。从而避免由于对给定的$$X$$，仅包含$$T=0$$的结果数据，使得$$T=1$$的结果无法估测。

四、因果效应估计

• $$ATT=E[Y_i^1|T=1]-E[Y_i^0|T=1]$$：表示干预组的平均因果效应；

• $$ATU=E[Y_i^1|T=0]-E[Y_i^0|T=0]$$：表示控制组的平均因果效应；

• $$selection\_bias=E[Y_i^0|T=1]-E[Y_i^0|T=0]$$：表示选择偏差，描述的是干预组和对照组在潜在结果的分布上有差异；

• $$ATT-ATU$$：差值表示的是因果效应在干预组和控制组之间存在差异，称为混淆偏差。

• $$\pi=P(T=1)$$：表示干预的概率。则有:
$$\begin{aligned}ATE&=E[Y_i^1-Y_i^0]\\&=E_t[E[Y_i^1-Y_i^0|T=t]]\\&=P(T=1)E[Y_i^1-Y_i^0|T=1]+P(T=0)E[Y_i^1-Y_i^0|T=0]\\&=\pi{E[Y_i^1-Y_i^0|T=1]}+(1-\pi)E[Y_i^1-Y_i^0|T=0]\\&=\pi{ATT}+(1-\pi)ATU\end{aligned}\tag{4.3}$$

• 第一种方案通过创造一个「拟群」（pseudo group）来近似目标组的真实分布。常用的方法包括样本重加权、匹配、基于树的方法、混杂因子平衡、平衡表征学习方法、基于多任务的方法等。创建的拟群可以缓解选择偏差的消极影响，从而得到更加可靠的反事实结果估计；

• 第二种方案首先仅基于观察性数据训练基础的潜在结果估计模型，然后对选择偏差引起的估计偏差进行纠正。这种方案的代表性方法是基于元学习的方法。

五、基于假设的因果推断方法

5.1 重加权方法

结合因果图分析样本重加权是如何帮助估计因果效应的$$^2$$。假设T、Y中间存在后门路径：

graph LR;
	X-->T
  X-->Y
  T-->Y

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构建倾向评分$$e(x)$$相当于在因果图中新增了一个节点：

graph LR;
	X-->e
  e-->T
  X-->Y
	T-->Y

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由于后门路径的存在，无法直接计算ATE，因为$$P(y|do(t))!=P(y|t)$$。

通过后门准则我们可以分层计算：$$P(y|do(t))=\sum_x{P(y|t,x)P(x)}$$

但如果直接计算$$P(y|t)=\sum_x{P(y,x|t)}=\sum_x{p(y|t,x)P(x|t)}$$

会发现导致$$P(y|do(t))!=P(y|t)$$的主要原因是由于$$P(x)!=P(x|t)$$

概率分布$$P(x)、P(x|t)$$较难估计，通过贝叶斯公式进行转换$$\frac{P(x)}{P(x|t)}=\frac{P(t)}{P(t|x)}$$，只需要使得加权后的$$\frac{P(t)}{P(t|x)}=1$$即可使$$P(x)=P(x|t)$$。

对于实验组$$P(T=1)=1$$，对照组$$P(T=0)=1$$，因此只需要使加权后的实验组$$P(T=1|X=x)=1$$，加权后的对照组$$P(T=0|X=x)=1$$即可使$$P(t)=P(t|x)$$。

因此加权方式为：实验组权重$$\frac{1}{P(T=1|X=x)}$$，对照组权重$$\frac{1}{P(T=0|X=x)}$$。